Теория прогнозов математические методы

Теория прогнозов математические методы

Глава 1. Методы регрессионного анализа как инструмент в построении прогнозов
1.1. Понятие регрессии: основные определения
1.2. Линейная регрессия
1.3. Регрессионный парадокс
1.4. Ортогональная регрессия
1.5. Оценка свободных параметров функций, линейных по параметрам, методом наименьших квадратов
1.6. Оценка параметров моделей с помощью функции правдоподобия
1.7 Байесовский подход к оцениванию параметров моделей
1.8. Интервальная оценка линии регрессии и прогнозируемых значений функции

Глава 2. Конфлюэнтный анализ как универсальный метод учета неопределенностей в задачах прогнозирования
2.1. Активный и пассивный эксперименты. Постановка задачи оценивания параметров функции известного вида в пассивном эксперименте
2.2. О единственности и состоятельности оценок в конфлюэнтном анализе. Алгоритм получения оценок
2.3. Оценка параметров прямой линии и ее интервальных границ
2.4. Оценка параметров линейных функций (и решение систем линейных алгебраических уравнений)
2.5. Оценка значений параметров в сигноме
2.6. Оценка параметров полиномиальной зависимости
2.7. Непосредственное определение оценок параметров экспоненты и функции Гаусса
2.8. Анализ систем в активном эксперименте
2.9. Плохая обусловленность и некорректность в задачах оценки параметров функции известного вида

Глава 3. Методы построения прогнозов
3.1. Особенности процедуры прогнозирования
3.2. Модели для получения прогнозов
3.3. Анализ и сглаживание рядов с помощью скользящей средней
3.4. Прогнозирование с помощью экспоненциального сглаживания
3.5. Многофакторное прогнозирование
3.6. Идентификация моделей типа АРПСС
3.7. Методы получения и уточнения прогнозов
3.8. Байесовские прогнозы
3.9. Анализ сезонных рядов
3.10. Диагностическая проверка моделей и ошибка прогноза
3.11. Обнаружение выбросов в наблюдениях

Процедуры построения прогнозов используются практически во всех областях знания, в том числе в экономике, социологии, технике, образовании и т. д. Процесс построения прогноза можно представить в виде двух взаимно связанных задач:

1) построение модели исследуемого явления;
2) оценка основных характеристик (параметров) модели по базовым данным и получение по этой модели интервальной оценки прогноза.

Первая задача базируется на физических законах, законах развития общества, а часто на интуиции, тогда как вторая задача может быть решена методами математической статистики. Таким образом, если из законов природы и общественного развития может быть получена модель явления, то основная проблема переносится на математические методы построения прогноза.

Системы называются стационарными, если их динамические свойства не изменяются с течением времени; если такое изменение имеет место, то системы называют нестационарными. Стационарность означает, что процесс преобразования входных возмущений системой обладает свойством инвариантности относительно сдвига во времени входных возмущений.

Модели бывают концептуальные, физические или математические (другие названия: феноменологические, эмпирические и аналитические) в зависимости от того, какая сторона явления в данном случае наиболее существенна, от методов, которые можно использовать при построении модели, от количества и качества имеющейся информации.

Относительная простота является главной характеристикой модели. Во многих случаях для того, чтобы модель была полезной, ее сложность должна находиться в определенном соотношении со сложностью описываемого объекта. Если физический механизм явления полностью ясен, можно вывести математическое выражение, точно описывающее явление. Во многих случаях для получения таких описаний (моделей) нужны подробные сведения, которых может не быть, и приходится прибегать к эмпирической модели. Оба названных случая представляют собой крайности. Обычно используемые модели занимают промежуточное положение. В частности, можно использовать неполные теоретические представления для указания подходящего класса математических функций, которые могут быть затем эмпирически подогнаны, когда число параметров модели и их числовые значения оцениваются по экспериментальным данным.

При подгонке моделей теоретический анализ не только указывает на подходящий вид модели, но может дать хорошие оценки числовых значений ее параметров. Эти значения затем можно проверить, анализируя реальные данные. Результат такой проверки служит в свою очередь основанием для пересмотра модели. Итерационный подход к построению моделей включает в себя следующие этапы:

1. На основе теории и практики явления выбирается класс моделей, ориентируясь на те цели, для которых создается модель.

2. Разрабатываются простейшие методы идентификации подклассов этих моделей. Процесс идентификации может быть использован для получения грубых предварительных оценок параметров моделей.

3. Пробная модель подгоняется к экспериментальным данным; оцениваются ее параметры. Грубые оценки, полученные на этапе идентификации, теперь можно использовать как начальные значения в более точных итеративных методах оценивания параметров.

4. Диагностические проверки позволяют выявить возможные дефекты подгонки и диагностировать их причины. Если такие дефекты не выявлены, модель готова к использованию. Если обнаружено какое-либо несоответствие, итеративные циклы идентификации, оценок и диагностической проверки повторяются до тех пор, пока не будет найдено подходящее представление модели.

В практике широко применяются параметрические модели, что повысило интерес к задачам оценивания параметров и к родственным вопросам при построении таких моделей по экспериментальным данным. При построении модели надо стремиться ответить на следующие вопросы:

1) как оценить качество модели;
2) как учесть всю имеющуюся информацию;
3) в чем состоит оптимальная стратегия получения недостающей информации;
4) как поступить с нелинейностями;
5) можно ли аппроксимировать сложную систему простой моделью.

Ответы на эти вопросы зависят от конкретного класса систем. На практике отыскание подходящей модели может быть достаточно трудной задачей.

Важный класс стохастических процессов, рассматриваемых в приложениях,- стационарные процессы. Полезным инструментом для описания поведения стационарных процессов является автокорреляционная функция. Ковариация между значениями z t и z t+k одного вариационного (временного) ряда, отделенными k интервалами времени, называется автоковариацией с задержкой k и определяется как

Автокорреляция с задержкой k равна

где σ z 2 = γ 0 ; γ k = ρ k σ z 2

В данной книге рассматриваются стохастические системы, для которых могут быть получены параметрические модели в виде элементарных функций, систем алгебраических уравнений и конечно-разностных описаний интегральных и дифференциальных уравнений. Предполагается, что исследователь располагает только случайными исходными данными: случайными будут входное воздействие и выход системы, или входное воздействие и параметры системы, случайны соответствующие элементы матриц алгебраических уравнений или ядер интегральных уравнений.

Оцениваемые параметры предполагаются либо неизвестными детерминированными величинами и в процессе решения находится доверительный интервал с определенной вероятностью накрывающий неизвестную величину (подход максимального правдоподобия) или случайными величинами с априорно известным законом распределения (байесовский подход).

В первых главах книги описывается необходимый математический аппарат, применяемый при построении прогнозов, и рассматриваются особенности его применения. Затем излагаются собственно процедуры прогнозирования.

В третьей главе рассмотрены разностные методы построения прогнозов, экспоненциальное сглаживание и сглаживание с помощью скользящей средней, прогнозирование сезонных явлений; диагностическая проверка моделей и оценка ошибки прогноза. Приводятся алгоритмы подправления прогнозов.

Книга рассчитана на специалистов, занимающимися задачами построения прогнозов, на студентов вузов и на слушателей системы дополнительного профессионального образования, изучающих методы прогнозирования.

Источник

Математические методы планирования и прогнозирования

Математические методы планирования и прогнозирования имеют высокую достоверность получаемой информации. Они позволяют с меньшими затратами времени и средств находить количественное выражение взаимосвязи между сложными социально–экономическими, технологическими и иными процессами, опосредованными в показателях.

Математические методы прогнозирования

При прогнозировании наибольшее распространение получили методы математической экстраполяции, экономико–статистического и экономико–математического моделирования.

Методы математической экстраполяции

Так, методы математической экстраполяции, которые позволяют количественно охарактеризовать прогнозируемые процессы, основаны на изучении сложившихся в прошлом закономерностей развития изучаемого явления и распространения их на будущее. Данный метод исходит из того, что в экономической жизни действует принцип инерции, который заключается в том, что наблюдаемые закономерности достаточно устойчивы в течение определенного периода времени.

Экстраполяция в прогнозировании осуществляется с помощью выравнивания статистических рядов вне их связи с другими рядами экономической динамики, влияние которых учитывается в усредненном виде только на основе опыта прошлого.

Предпосылка о сохранении неизменности условий предшествующего периода при экстраполяции ограничивает возможности применения данного метода относительно непродолжительными периодами времени, в течение которых не происходит существенных качественных изменений. При этом наиболее достоверны результаты прогнозирования, которые учитывают соотношение продолжительности предшествующего периода (ретроспекции) и периода упреждения (проспекции).

Для применения этого метода необходимо иметь продолжительный ряд показателей за прошедшей период. Имеющаяся информация изучается и обрабатывается, а фактический временной ряд выравнивается с помощью графоаналитического или статистического подбора аппроксимирующей функции. В дальнейшем разрабатывают гипотезы изменения объекта в прогнозный период (период упреждения) и формализуют их в виде количественных показателей (тенденций). В данном случае значения показателей можно прогнозировать не только на конец прогнозного срока, но и на промежуточных этапах.

Читайте также:  Серебро с камнями по гороскопу

Методы математической экстраполяции применяются при прогнозировании отводов земель для несельскохозяйственных нужд, установления урожайности сельскохозяйственных культур и т.п.

В свою очередь методы и приемы математической статистики, а также теории вероятности дают возможность применять широкий спектр функций для прогнозирования необходимого показателя во времени. Однако данные методы обладают некоторыми недостатками, поскольку не может быть дан достоверный прогноз на длительный срок в том случае, если имеются скачкообразные изменения данных; нет возможности определить качественные характеристики прогнозируемых явлений или объектов.

Экономико–статистические методы

Наиболее часто при прогнозировании применяются экономико– статистические модели, благодаря которым можно рассчитать урожайность сельскохозяйственных культур, продуктивность животных, выход продукции с сельскохозяйственных земель, а также прогнозные нормативы. Этот метод позволяет научно обосновать показатели и нормативы, применяемые при планировании и прогнозировании.

Так, экономико–статистической моделью называют функцию, связывающую результативный и факторные показатели, выраженную в аналитическом, графическом, табличном или ином виде, которая построена на основе массовых данных и обладает статистической достоверностью. Такие функции называют производственными, поскольку они описывают зависимость результатов производства от располагаемых факторов.

Стадии разработки экономико–статистической модели

Процесс разработки экономико–статистической модели, т.е. моделирование, состоит из следующих стадий:

Экономико математические методы

Математические методы планирования сводятся в основном к оптимизационным расчетам на основе различного рода моделей. Так, к простейшим моделям относятся статистические, среди которых можно выделить корреляционную. Данная модель отражает взаимосвязь двух переменных величин. С ее помощью можно с определенной степенью вероятности предсказать и запланировать наступление события Б, если происходит связанное с ним событие А. Наиболее широкое распространение статистические модели получили в финансовом планировании. Они позволяют, например, определять будущие доходы, основываясь на текущих вложениях и заданных процентных ставках.

Методы линейного программирования дают возможность путем решения системы уравнений и неравенств, которые связывают ряд переменных показателей, найти их оптимальные величины во взаимном сочетании. Данный метод позволяет по заданному критерию выбрать оптимальный вариант функционирования или развития объекта управления для того, чтобы обеспечить максимальную прибыль, минимизировать затраты и т. п. Наибольшее распространение методы линейного программирования получили там, где речь идет об оптимизации расходования тех или иных ресурсов. Так, они позволяют выбрать технологии, дающие возможность получить необходимый объем продукции при минимальном расходе сырья и материалов; загрузить оборудование, выполняющее несколько видов работ, чтобы при этом достигалась максимальная выработка; составить маршруты движения транспорта, позволяющие, с одной стороны, наиболее полно обслужить всех клиентов, а с другой – сделать это при наименьших затратах и т.д.

Однако следует учитывать то, что возможности применения различных методов планирования и прогнозирования имеют свои границы. Такие границы, во–первых, обусловлены современной НТР, которая вызывает настолько стремительные изменения, что поспеть за ними планирование попросту не успевает. Во–вторых, нехваткой времени, связанной с тем, что плановые расчеты достаточно длительны и трудоемки. В–третьих, бюрократизмом и инерционностью самих сотрудников организации, их боязнью новшества. Перечисленные ограничения полностью устранить нельзя, но можно их существенно ослабить с помощью уменьшения жесткости и схематичности составления планов и прогнозов, их переориентацией на ключевые цели и задачи, стоящие перед организацией, конкретизацией и приближением к нуждам практики, усилением комплексности.

Источник

Библиотека

Грешилов А.А., Стакун В.А., Стакун А.А.

Процедуры построения прогнозов используются практически во всех областях знания, в том числе в экономике, социологии, технике, образовании и т. д. Процесс построения прогноза можно представить в виде двух взаимно связанных задач:

1) построение модели исследуемого явления;

2) оценка основных характеристик (параметров) модели по базовым данным и получение по этой модели интервальной оценки прогноза.

Первая задача базируется на физических законах, законах развития общества, а часто на интуиции, тогда как вторая задача может быть решена методами математической статистики. Таким образом, если из законов природы и общественного развития может быть получена модель явления, то основная проблема переносится на математические методы построения прогноза.

Системы называются стационарными, если их динамические свойства не изменяются с течением времени; если такое изменение имеет место, то системы называют нестационарными. Стационарность означает, что процесс преобразования входных возмущений системой обладает свойством инвариантности относительно сдвига во времени входных возмущений.

Модели бывают концептуальные, физические или математические (другие названия: феноменологические, эмпирические и аналитические) в зависимости от того, какая сторона явления в данном случае наиболее существенна, от методов, которые можно использовать при построении модели, от количества и качества имеющейся информации.

Относительная простота является главной характеристикой модели. Во многих случаях для того, чтобы модель была полезной, ее сложность должна находиться в определенном соотношении со сложностью описываемого объекта. Если физический механизм явления полностью ясен, можно вывести математическое выражение, точно описывающее явление. Во многих случаях для получения таких описаний (моделей) нужны подробные сведения, которых может не быть, и приходится прибегать к эмпирической модели. Оба названных случая представляют собой крайности. Обычно используемые модели занимают промежуточное положение. В частности, можно использовать неполные теоретические представления для указания подходящего класса математических функций, которые могут быть затем эмпирически подогнаны, когда число параметров модели и их числовые значения оцениваются по экспериментальным данным.

При подгонке моделей теоретический анализ не только указывает на подходящий вид модели, но может дать хорошие оценки числовых значений ее параметров. Эти значения затем можно проверить, анализируя реальные данные. Результат такой проверки служит в свою очередь основанием для пересмотра модели. Итерационный подход к построению моделей включает в себя следующие этапы:

1. На основе теории и практики явления выбирается класс моделей, ориентируясь на те цели, для которых создается модель.

2. Разрабатываются простейшие методы идентификации подклассов этих моделей. Процесс идентификации может быть использован для получения грубых предварительных оценок параметров моделей.

3. Пробная модель подгоняется к экспериментальным данным; оцениваются ее параметры. Грубые оценки, полученные на этапе идентификации, теперь можно использовать как начальные значения в более точных итеративных методах оценивания параметров.

4. Диагностические проверки позволяют выявить возможные дефекты подгонки и диагностировать их причины. Если такие дефекты не выявлены, модель готова к использованию. Если обнаружено какое-либо несоответствие, итеративные циклы идентификации, оценок и диагностической проверки повторяются до тех пор, пока не будет найдено подходящее представление модели.

В практике широко применяются параметрические модели, что повысило интерес к задачам оценивания параметров и к родственным вопросам при построении таких моделей по экспериментальным данным. При построении модели надо стремиться ответить на следующие вопросы:

1) как оценить качество модели;

2) как учесть всю имеющуюся информацию;

3) в чем состоит оптимальная стратегия получения недостающей информации;

4) как поступить с нелинейностями;

5) можно ли аппроксимировать сложную систему простой моделью.

Ответы на эти вопросы зависят от конкретного класса систем. На практике отыскание подходящей модели может быть достаточно трудной задачей.

Математическую модель системы называют детерминированной, если входящие в нее описания воздействия и параметры модели являются постоянными или детерминированными функциями переменных состояния и времени. Математическую модель системы называют статистической (стохастической), если функции, описывающие воздействия и параметры модели, являются случайными функциями или случайными величинами. Для стохастических (вероятностных) динамических систем текущее состояние в момент t1-X(t1) и входное воздействие w = w(t1, t2) определяют в момент t2 не X(t2), а лишь его вероятностное распределение.

Модели временных рядов и исследуемых процессов, необходимые для получения оптимального прогнозирования, в действительности являются стохастическими, поскольку на изучаемый процесс действует большое число неизвестных факторов и нельзя предложить детерминированную модель, допускающую точное вычисление будущего поведения объекта. Можно вычислить вероятность того, что некоторое будущее значение будет принадлежать определенному интервалу. В дальнейшем будем различать вероятностную модель или стохастический процесс и наблюдаемый временной (вариационный) ряд z1, z2, :, zN, который рассматривается как выборочная реализация.

Важный класс стохастических процессов, рассматриваемых в приложениях,- стационарные процессы. Полезным инструментом для описания поведения стационарных процессов является автокорреляционная функция. Ковариация между значениями zt и zt+k одного вариационного (временного) ряда, отделенными k интервалами времени, называется автоковариацией с задержкой k и определяется как

Читайте также:  Прогноз ресторанного рынка на 2017

Автокорреляция с задержкой k равна

,

Функция γk от задержки k называется автоковариационной функцией <γk> стохастического процесса; функция ρk от задержки k называется автокорреляционной функцией <ρk> стохастического процесса. На практике определяют только выборочные оценки этих функций. Так оценка ρk : ,

В данной книге рассматриваются стохастические системы, для которых могут быть получены параметрические модели в виде элементарных функций, систем алгебраических уравнений и конечно-разностных описаний интегральных и дифференциальных уравнений. Предполагается, что исследователь располагает только случайными исходными данными: случайными будут входное воздействие и выход системы, или входное воздействие и параметры системы, случайны соответствующие элементы матриц алгебраических уравнений или ядер интегральных уравнений.

Оцениваемые параметры предполагаются либо неизвестными детерминированными величинами и в процессе решения находится доверительный интервал с определенной вероятностью накрывающий неизвестную величину (подход максимального правдоподобия) или случайными величинами с априорно известным законом распределения (байесовский подход).

В первых главах книги описывается необходимый математический аппарат, применяемый при построении прогнозов, и рассматриваются особенности его применения. Затем излагаются собственно процедуры прогнозирования.

В третьей главе рассмотрены разностные методы построения прогнозов, экспоненциальное сглаживание и сглаживание с помощью скользящей средней, прогнозирование сезонных явлений; диагностическая проверка моделей и оценка ошибки прогноза. Приводятся алгоритмы подправления прогнозов.

Книга рассчитана на специалистов, занимающимися задачами построения прогнозов, на студентов вузов и на слушателей системы дополнительного профессионального образования, изучающих методы прогнозирования.

Источник

Теория прогнозов математические методы

Новые реалии существования человечества ставят перед людьми все новые проблемы и требуют принятия решений в самых экстремальных условиях. Практически во всех сферах современного общества мы переходим от описательности к аналитическому и прогностическому анализу. И заметим, что история прогнозирования начинается от предсказаний волхвов, а продолжается строгими математическими расчетами и использованием искусственного интеллекта. Попыток предсказания будущего на уровне всего человечества немало: построение желаемого будущего, разработка глобальных проектов, стратегические прогнозы, предсказание ядерной зимы или конца света. Примеров сбывшихся исторических прогнозов довольно много. И сегодня мы абсолютно спокойно воспринимаем прогноз погоды на месяц вперед, курс инфляции, цены на нефть, демографические показатели и т.д. Что такое прогнозирование, какие существуют методы прогнозирования, можно ли самому выстроить прогноз на будущее… Вопросы интересные и актуальные.

В работе будет рассмотрены некоторые методы математического прогнозирования, их применение к прогнозированию результатов Государственной итоговой аттестации.

Цель работы: изучить возможности математического прогнозирования на примере прогнозирования результатов ГИА.

Для осуществления цели мы ставим перед собой следующие задачи:

изучить, что такое математическое прогнозирование и его этапы;

изучить некоторые методы математического прогнозирования;

собрать данные средних баллов по ГИА учеников МБОУ ООШ №8 х. Свободного Приморско – Ахтарского района;

рассмотреть возможность применения информационных технологий для выполнения расчетов;

спрогнозировать результаты ГИА на 2017, 2018 года.

Гипотеза исследования: Мы предполагаем, что с помощью математического прогнозирования можно составлять достаточно точные прогнозы на примере прогноза результатов ГИА по математике.

Актуальность исследования: Прогнозирование поможет определить проблемные элементы в подготовке к ГИА, будет способствовать развитию логического мышления, повышению уровня информационной культуры.

Объект исследования: математическое прогнозирование.

Предмет исследования: математическое прогнозирование результатов ГИА.

Практическая значимость: с помощью данной работы возможно оценить состояние наших знаний по выбранным предметам.

Понятие прогнозирования и его принципы

Прогнозирование представляет собой научно обоснованное суждение о будущих состояниях объекта прогнозирования и (или) об альтернативных путях достижения этого состояния. [1] Необходимость прогнозирования вызвана тем обстоятельством, что будущие состояния объекта имеют большое значение для решений, принимаемых в настоящий момент. Естественно, неопределенность будущей ситуации существует, и качество прогноза играет важную роль. Основной задачей является поиск оптимального решения. Прогнозирование выступает как один из инструментов поиска такого решения, которое должно приниматься на основе научно обоснованного, объективного анализа проблемы.

В специальной литературе с прогнозированием связывают два понятия: forecasting (прогнозирование) и prediction (предсказание). Глагол to predict означает сказать заранее, а глагол to forecast – бросать вперед. Можно предположить наличие «чего-то», что можно было бы «бросить вперед». При прогнозировании роль этого «чего-то» выполняют имеющиеся сведения о процессе. [1] Причем эти сведения могут быть самыми различными, главное условие – наличие какой-то последовательности, структурности, очередности.

Р.Браун (1963) [3] использует понятие предсказание (prediction) для обозначения субъективных оценок будущего и понятие прогноз (forecast) для обозначения результатов объективных вычислений. В рамках нашей задачи: предсказание – оценка, которую планирует получить ученик или мнение учителя, прогноз – какой-то вычислительный процесс, дающий ответ о результатах ученика.

Д.М.Гвишиани и В.А.Лисичкин (1968) [2] определяют понятия предсказание и прогноз более прагматично. Предсказание – как предвидение таких событий, количественная характеристика которых либо невозможна (на данном уровне познания), либо затруднена. Прогноз – как высказывание, фиксирующее в терминах какой-либо языковой системы ненаблюдаемое событие.

Таким образом исторически, под предсказанием обычно понимают искусство суждения о будущем состоянии объекта, основанное на субъективном взвешивании большого количества качественных и количественных факторов, под прогнозированием – некоторый исследовательский процесс, в результате которого устанавливаются возможные данные о будущем состоянии прогнозируемого объекта. Наша задача – прогнозирование.

Прогнозирующая система, как правило, – это некая организационно-техническая система, как система обработки данных на компьютере, обрабатывающая поступающие на вход данные о прогнозирующем объекте с целью получения на выходе данных о будущем состоянии этого объекта.

Прогноз может быть качественным и количественным. Качественный прогноз можно получить как через цепочку выводов, так через количественный анализ. Количественный прогноз связан с «возможностями», с которыми происходит то или иное событие в будущем, а также с некоторыми количественными характеристиками этого события (например, его математическим ожиданием, наиболее вероятным значением и т.д.). [4]

Различают участок наблюдения, где процесс изучается в течение некоторого времени, и точку упреждения (интервал, в который может попасть результат прогнозирования), в которой оценивается как математическое ожидание процесса (точечный прогноз) и величина интервала, в который с заданной вероятностью попадет будущее значение процесса (интервальный прогноз).

Естественным требованием к качеству данных, полученных в результате прогнозирования, является их точность. Однако данные даже самых совершенных прогнозирующих систем могут совпасть с объектом в будущем лишь с некоторой вероятностью.

Важным требованием к изучаемой системе является способность к реагированию на изменения, происходящие в изучаемом объекте прогнозирования с целью устранения ошибок прогнозирования. Конечно же, эти условия для всех прогнозов должны прослеживаться.

Методы прогнозирования и типы прогнозов

В 1927 году В.А.Базаров-Руднев предложил 3 метода прогноза: экстраполяция, аналитическая модель, экспертиза.

В настоящее время существует около 220 методов прогнозирования, но чаще всего на практике используются не более 10, среди них: фактографические (экстраполяция, интерполяция, тренд-анализ), экспертные (в т.ч. опрос, анкетирование), публикационные (в т.ч. патентные), сценарные, матричные, моделирование, аналогий, построение графов и т.д. [4]

Можно очень формально представить следующую классификацию методов прогнозирования: формальный и экспертный. Классификация по признакам прогнозирования представлена на рис.1.

Рис. 1 Классификация прогнозов

Любое прогнозирование строится на основе имеющейся информации об изучаемом объекте. Нахождение закономерности в поведении прогнозируемого объекта позволяет построить его математическую модель. На выбор модели оказывают влияние цель и задачи прогнозирования и величина того интервала, на который оно производится.

После выбора модели прогнозируемого объекта определяются ее неизвестные параметры. Затем производится прогнозирование состояния объекта в интересующий нас будущий момент времени.

Таким образом прогнозирование переходит к известному нам из школьного курса математики – математическому моделированию. Только если в реальных задачах мы использует конкретные данные и условия, то здесь идет набор данных, которые еще нужно каким-то образом использовать и обрабатывать.

Модель – это заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение только некоторых свойств оригинала, но способный замещать оригинал таким образом, что изучение поведения модели в новых условиях дает новую информацию об объекте-оригинале.

Моделирование – это процесс получения информации об объекте-оригинале путем проведения экспериментов с его моделью в заданных внешних условиях; построение поисковых и нормативных моделей с учетом вероятного или желательного (не желательного) изменения прогнозируемого объекта на период упреждения прогноза по имеющимся прямым или косвенным данным о масштабах и направлениях изменений.

Читайте также:  Прогнозы на матчи 19 май

Трендовая модель (или математическое моделирование) предполагает постоянное подобное развитие системы («как развивалась до этого, так и будет дальше»).

Математическое прогнозирование заключается в использовании имеющихся характеристик прогнозируемого объекта, обработке этих данных математическими методами, получении их математической зависимости от времени и других известных независимых переменных и вычислении с помощью найденной зависимости характеристик объекта в заданный момент времени при заданных значениях других независимых переменных.

Метод математического прогнозирования характеризуется объективностью и высокой точностью получаемых результатов при правильном выборе математической модели. К числу основных этапов математического прогнозирования относятся:

1) сбор и подготовка исходных данных (статистика);

2) выбор и обоснование математической модели прогнозируемого объекта;

3) обработка статистических данных для определения неизвестных параметров модели;

4) выполнение расчетов и анализ полученных результатов

Рассмотрим некоторые методы математического прогнозирования. Один из методов – метод временных рядов. Временным рядом называется последовательность наблюдения одного явления или показателя в упорядоченном во времени (хронологическом) порядке. Тем самым, временной ряд существенным образом отличается от простой выборки данных. Каждое отдельное значение данной переменной называется отсчётом (уровнем элементов) временного ряда. [2]

Временные ряды состоят из двух элементов:

периода времени, за который или по состоянию на который приводятся числовые значения;

числовых значений того или иного показателя, называемых уровнями ряда.

Временные ряды, как правило, возникают в результате измерения некоторого показателя. Это могут быть как показатели (характеристики) технических систем, так и показатели природных, социальных. Типичным примером временного| ряда можно назвать биржевой курс, при анализе которого пытаются определить основное направление развития (тенденцию или тренда).

Анализ временных рядов совокупность математико-статистических методов анализа, предназначенных для выявления структуры временных рядов и для их прогнозирования. Сюда относятся, в частности, методы регрессионного анализа. Выявление структуры временного ряда необходимо для того, чтобы построить математическую модель того явления, которое является источником анализируемого временного ряда.

Рассматривая временной ряд как множество результатов наблюдений изучаемого процесса, проводимых последовательно во времени, необходимо выявить и провести анализ характерного изменения параметра у, оценить его изменение в будущем (прогноз).

Неслучайная функция f(t) называется трендом. Тренд отражает характерное изменение (тенденцию) yt, за некоторый промежуток времени. На практике в качестве тренда выбирают несколько возможных теоретических моделей. Могут быть выбраны, например, линейная, параболическая функции. Для выявления типа модели на координатную плоскость наносят точки с координатами (t,yt) и по характеру расположения точек делают вывод о виде уравнения тренда. Для получения уравнения тренда применяют различные методы.

Уравнение тренда линейного вида будем искать в виде yt = f(t), где f(t)=a+a1(t). Для определения неизвестных величин используют метод наименьшего отклонения искомых от известных данных временного ряда. Математическими методами мы не сможем решить данную задачу, так как не обладаем необходимыми знаниями. Поэтому в практической части работы воспользуемся вычислительными возможностями табличного редактора Excel.

Математическое прогнозирование реальной ситуации

Опираясь на собранные данные о результатах и подготовке к ГИА спрогнозировать результат экзамена по математике.

Приступая к 1 этапу, мы подготовили и создали электронные таблицы такой тематики:

«Тренировочные экзаменационные работы» (Приложение 1): в течении 2 месяцев выполнялись работы (возможность проверки в сети Интернет) через одинаковые промежутки времен (3 дня)

«Средние баллы, полученные учащимися 9 классов на ГИА за период 2012-2016 годы» (Приложение 2)

Для таблицы «Тренировочные экзаменационные работы» применим регрессионный анализ. Т.е. рассчитаем каким уравнением можно записать функцию, описывающую статистические данные таблицы по наиболее проблемным заданиям. При этом можно воспользоваться не только линейной функцией, а воспользоваться нелинейной (показательные функции) или множественной регрессией. Вид указанных функций, где x – независимая переменная, y – зависимая переменная, m – угловой коэффициент прямой, b – точка пересечения прямой с осью у.

Таблица 1 Примеры регрессивных функций

Но в качестве независимой переменной х выступает номер тренировочного теста, т.е. с точки зрения анализа данных не несет информационной ценности.

Другое значение приобретает номер теста в случае временного ряда, когда конкретно выделяют временной промежуток, причем определенный. Для данных «Средние баллы, полученные учащимися 9 классов на ГИА за период 2012-2016 годы» будем использовать прогнозирование с помощью временных рядов.

Воспользуемся для обработки данных встроенными функциями Excel.

Линейная регрессия – ЛИНЕЙН(…), ТЕНДЕНЦИЯ (…), ПРЕДСКАЗ(…).

Нелинейная регрессия – ЛГРФПРИБЛ(…).

Для выполнения расчетов в приложении 1 «Тренировочные экзаменационные работы» выполним следующие операции:

вычислим суммы баллов за каждое задание и работу в целом, воспользовавшись встроенной функцией Автосумма;

используем функцию =ПРЕДСКАЗ(21;B3:B22;A3:A22) (вариант ячейки В26), данная функция выдаст прогноз результата за данное задание. Отметим, что данная функция выдает только один результат и использует линейное приближение, в качестве значения независимой переменной выбрано 21.

Используем функцию =ЛИНЕЙН(AB3:AB22;A3:A22;1;1). Выделяем диапазон ячеек, и функция выдает таблицу, в которой числа несут следующую информационную нагрузку: (на примере Приложения 1) функция тренда имеет вид у=mx+b, где

Стандартные значения ошибок для коэффициентов

Указывает насколько модель близка к оригиналу, наилучший вариант 1

Предельное отклонение для у, т.е. у+4,299084 или у-4,299084

В Приложении 2 «Средние баллы, полученные учащимися 9 классов на ГИА за период 2012-2016 годы» построим графическую линию тренда, алгоритм простой: построить график по данной таблице значений и добавить линию тренда, выполнив необходимое форматирование графического изображения. В данном случае выбран прогноз на 2 вперед. Для сравнения результатов прогноза выбрана линейная и степенная линия тренда.

Проанализировав полученные данные имеем:

уделить внимание заданиям экзаменационной работы, прогноз у которых менее 0,8 балла (2, 7,6,11 и др.);

рассмотреть итоговый балл экзамена, полученный с помощью математического прогнозирования, с учетом погрешности сделать вывод о возможной оценке за экзамен;

заметим, что погрешности прогнозирования невелики, подтверждением этого является проведенная проверка – вычисление для х=20(Приложение 1);

графическое представление линии тренда требует более точного анализа, разбег значений велик, и они далеко расположены от линии тренда. Предполагаемые средние баллы – в 2017 году – 18,5, в 2018 – 18,75. Возможной причиной является несоответствие данных решаемой задаче. Здесь роль сыграли – малое количество данных, различия в классах – качественное и количественное. Но данные имеют право на использование, как альтернативный вариант;

применение к вычислениям функций электронных таблиц делает процесс прогнозирования простым, наглядным и позволяет быстро вносить коррективы в данные, проводить оценку правдивости прогноза.

Получены прогнозы среднего балла ГИА для индивидуального и коллективного набора данных.

Итак, мы изучили использование методов математического прогнозирования в реальной ситуации. Сравнив результату исследования с известными данными, мы сделали вывод о достоверности метода прогнозирования. а именно анализа и прогнозирования на основе временных рядов. Используя электронные таблицы, создали шаблон для самостоятельной работы выпускников по подготовке.

«Операции над прошлым», так иногда называют прогнозирование процессов. В первую очередь, «прошлое» должно позволить найти общие закономерности (если таковые вообще имеются) в поведении подобных объектов в подобных ситуациях. Рубеж научного прогнозирования лежит там, где исчерпывается возможность обосновать развитие объекта, опираясь на эти закономерности. [4]

И очень хочется верить, что человечество вскоре научиться не только прогнозировать, но и предупреждать самые негативные процессы.

Берндат Дж., Пирсал А. Измерение и анализ случайных процессов. – М.: Мир, 1971. – 270 с. Гвишиани Д.М., Лисичкин В. А. Прогностика. – М.: Знание, 1968. – 279 с.

Петриченко Г.С., Дудник Л.Н. Табличный процессор Excel в экономических и финансовых расчетах. – Краснодар: издательский дом – Юг, 2011. – 263 с.

Теория прогнозирования и принятия решений / Под ред. С.А. Саркисяна. – М.: Высш. Шк., 1977. – 351 с.

Brown R.G. Smoothing Forecasting and Prediction of Discrete Time series. – N.Y.: Prentice Hall, 1963. – 270 p.

Приложение 1 (скан страницы электронной таблицы, демонстрирующий работу с функциями MS Excel)

Приложение 2 (скан страницы электронной таблицы, демонстрирующий работу с функциями MS Excel)

Старт в науке

Учредителями Конкурса являются Международная ассоциация учёных, преподавателей и специалистов – Российская Академия Естествознания, редакция научного журнала «Международный школьный научный вестник», редакция журнала «Старт в науке».

Источник

Оцените статью
Adblock
detector