Что такое шаровой сигмент

Шаровой сектор

Смотреть что такое «Шаровой сектор» в других словарях:

Шаровой сектор — 1 го рода … Википедия

ШАРОВОЙ СЕКТОР — геометрическое тело, возникающее при вращении сектора вокруг одного из его радиусов (шаровой сектор 1 го рода) или вокруг диаметра, не пересекающего его дуги (шаровой сектор 2 го рода); объем шарового сектора (1 го и 2 го рода):;полная… … Большой Энциклопедический словарь

шаровой сектор — геометрическое тело, возникающее при вращении сектора вокруг одного из его радиусов (шаровой сектор 1 го рода рис. а) или вокруг диаметра, не пересекающего его дуги (шаровой сектор 2 го рода рис. б); объём шарового сектора (1 го и 2 го рода) V … Энциклопедический словарь

ШАРОВОЙ СЕКТОР — геом. тело, возникающее при вращении сектора вокруг одного из его радиусов (Ш. с. 1 го рода рис. а) или вокруг диаметра, не пересекающего его дуги (Ш. с. 2 го рода рис. б); объём Ш.с. (1 го и 2 го рода) V= 2/3ПИ*R2h; полная поверхность Ш. с. 1 го … Естествознание. Энциклопедический словарь

Сектор (в математике) — Сектор в математике, 1) С. на плоскости плоская фигура, ограниченная двумя полупрямыми, исходящими из внутренней точки фигуры, и дугой контура. С. круга фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на которую они опираются. Площадь С. круга… … Большая советская энциклопедия

СЕКТОР — (1) круговой часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой круга; (2) плоской фигуры часть этой фигуры, ограниченная двумя лучами, исходящими из внутренней точки, и дугой контура; (3) пространственной фигуры часть этой фигуры, ограниченная… … Большая политехническая энциклопедия

Сектор — В Викисловаре есть статья «сектор» Сектор: Сектор в геометрии часть круга, ограниченная двумя ради … Википедия

Сектор (геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Сектор. Сектор круга закрашен зелёным Сектор в геометрии часть круга, ограниченная дугой и двумя ра … Википедия

Сектор — I Сектор (позднелатинский sector, от лат. seco разрезаю, разделяю) 1) четко выделенная составная часть. 2) Участок, ограниченный радиальными линиями, например С. стадиона, С. наблюдения, С. обстрела. 3) Часть народного… … Большая советская энциклопедия

СЕКТОР — 1) С. н а п л о с к о с т и плоская фигура, ограниченная двумя полупрямыми, исходящими из внутренней точки фигуры, и дугой контура. С. круга (к р у г о в о й с е к т о р) фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на к рую они опираются.… … Математическая энциклопедия

Источник

Объемы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора

Урок 30. Геометрия 11 класс ФГОС

Конспект урока «Объемы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора»

На этом уроке мы введём понятия шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора. А также выведем формулы для вычисления их объёмов.

Прежде чем приступить к рассмотрению данной темы, давайте вспомним, что такое шар.

Итак, шар – это совокупность всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного. Причём, данная точка называется центром шара, а данное расстояние – радиусом шара.

Самой простой фигурой, которую можно начертить, используя шар, является шаровой сегмент.

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью.

На экране вы видите, как секущая плоскость , проходящая через точку , разделяет шар на два шаровых сегмента. Круг, получившийся в сечении, называется основанием каждого из этих сегментов, а длины отрезков и диаметра , перпендикулярного к секущей плоскости, называются высотами сегментов.

Верно следующее утверждение: если радиус шара равен , а высота сегмента равна , то объем шарового сегмента можно вычислить по формуле:

Докажем это утверждение. Доказывать будем с помощью определённого интеграла.

Проведём ось перпендикулярно к плоскости . Тогда площадь ,

при .

Вычислим объём шарового сегмента с помощью основной формулы объёма тела. Вспомним её: .

Итак, применим основную формулу для вычисления объёмов тел получаем, что объём шарового сегмента равен .

Что и требовалось доказать.

Заметим, что если высоту в формуле объема шарового сегмента заменить на , то получим формулу для нахождения объёма шара:

А если заменить высоту на радиус , то получим формулу для нахождения объёма полушара.

Кстати, в жизни нас также окружают некоторые объекты, имеющие форму очень близкую к форме шарового сегмента.

В современной авиации наиболее популярны парашюты в виде сегмента.

Форму шарового сегмента нередко используют и в архитектуре, интерьере, декоре.

Перейдём к шаровому слою.

Шаровым слоем называется часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями.

На экране вы видите изображение шарового слоя.

Круги, получившиеся в сечении шара плоскостями, называются основаниями шарового слоя, а расстояние между плоскостями – высотой шарового слоя.

Нетрудно заметить, что объём шарового слоя можно вычислить, как разность объёмов двух шаровых сегментов.

Объём шарового слоя, изображённого на экране, равен разности объёмов шаровых сегментов, высоты которых равны и .

Если высота шарового слоя равна , а радиусы и – радиусы оснований шарового слоя соответственно, то объем шарового слоя можно вычислить по формуле:

Декоративная свеча может служить примером шарового слоя в жизни.

И теперь перейдём к шаровому сектору.

Обратите внимание, шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса. Причём шаровой сегмент имеет высоту , а конус высоту , где – радиус шара.

Понятно, что шаровая поверхность пересекается с конусом по окружности. Радиус этой окружности равен .

Если радиус шара равен , а высота шарового сегмента равна , то объем шарового сектора можно найти по формуле:

Для того чтобы получить данную формулу необходимо сложить объём конуса (с вершиной O), лежащего под плоскостью, и объём шарового сегмента, лежащего над плоскостью.

Большой воздушный шар имеет форму близкую к форме шарового сектора в жизни.

Перейдём к задачам.

Задача: радиус шара равен см. Вычислите объем шарового сегмента, если его высота равна см.

Решение: запишем формулу для вычисления объёма шарового сегмента.

И подставим в неё радиус шара и высоту шарового сегмента.

Решение: запишем формулу для вычисления объема шарового слоя.

Чтобы найти объём шарового слоя нам необходимо знать его высоту и радиусы двух его оснований.

По условию задачи нам дано расстояние между сечениями, как раз-таки это расстояние и есть высота данного шарового слоя, и она равна .

Теперь найдём чему равны радиусы оснований шарового слоя. Напомню, что сечением шара плоскостью является круг. Площадь круга вычисляется по формуле . Отсюда найдём радиусы оснований шарового слоя. Тогда имеем, радиус одного основания равен (см), радиус второго основания равен (см).

Подставим радиусы оснований и высоту шарового слоя в формулу его объёма. Посчитаем. Получаем, что объём данного шарового слоя равен .

Не забудем записать ответ

Задача: радиус шара равен см. Найдите объем шарового сектора, если высота шарового сегмента равна см.

Решение: запишем формулу для вычисления объёма шарового сектора.

Подставим в неё радиус шара и высоту шарового сегмента. Посчитаем. Получим, что объём данного шарового сектора равен .

Источник

Геометрия. 11 класс

Конспект урока

Геометрия, 11 класс

Урок №14. Объем шара и его частей

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 10-11 учебник для общеобразов. учрежд.: база и профильн. М: Просвещение.2009

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни и др. – М.: Просвещение, 2014. – 255, сс. 121-126.

Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 178-196.

Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2004. – 368 с.: ил., ISBN 5–7107–8310–2, сс. 5-30.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Шаром называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного R.

Радиусом шара называют всякий отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара.

Концы любого диаметра шара называются диаметрально противоположными точками шара. Отрезок, соединяющий две любые точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, называют хордой шара.

Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы, заключенную между двумя параллельными плоскостями

Шаровым слоем называют часть шара, заключенную между двумя параллельными плоскостями

Сферическим сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит сферу пересекающая ее плоскость.

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью.

Шаровым сектором называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точки сферического сегмента с центром сферы

Объем шара равен .

Объем шарового сегмента равен .

Объем шарового сектора равен .

Объем шарового слоя равен .

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Круговой сектор радиуса R с центральным углом 60 градусов вращается вокруг одного из радиусов, образующих этот угол. Найдите объем тела вращения.

№2. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6 см, а высота конуса, образующего сектор, составляет треть диаметра шара.

Решение: запишем формулу для вычисления объема шарового слоя.

Чтобы найти объём шарового слоя нам необходимо знать его высоту и радиусы двух его оснований.

По условию задачи нам дано расстояние между сечениями, как раз-таки это расстояние и есть высота данного шарового слоя, и она равна .

Теперь найдём чему равны радиусы оснований шарового слоя. Напомню, что сечением шара плоскостью является круг. Площадь круга вычисляется по формуле . Отсюда найдём радиусы оснований шарового слоя. Тогда имеем, радиус одного основания равен (см), радиус второго основания равен (см).

Подставим радиусы оснований и высоту шарового слоя в формулу его объёма. Посчитаем. Получаем, что объём данного шарового слоя равен .

Источник