Что такое шаровой сектор формула

Шаровой сектор

Шаровым сектором называется геометрическое тело, полученное при вращении кругового сектора (с углом меньше image634) вокруг оси, содержащей один из боковых радиусов. Дополнение такого тела до шара также называется шаровым сектором. Таким образом, шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса, либо из шарового сегмента без конуса (рис. 43а, 43б).

image635

Для шарового сектора верны формулы:

image637

image639

где R – радиус шара;

r – радиус основания сегмента;

S – площадь поверхности шарового сектора;

V – объем шарового сектора.

Пример 1. Радиус шара разделили на три равные части. Через точки деления провели два сечения перпендикулярные радиусу. Найти площадь сферического пояса, если радиус шара равен 15см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 44).

image640

Для того, чтобы вычислить площадь сферического пояса, надо знать радиус шара и высоту. Радиус шара известен, а высоту найдем, зная, что радиус разделен на три равные части: image642

Тогда площадь image644

Ответ: image646 image648

Решение. Рассмотрим два сферических сегмента с площадями: image650 image652где R – радиус шара (сферы), h, H – высоты сегментов. Получим уравнения: image654и image656Имеем два уравнения с тремя неизвестными. Составим еще одно уравнение. Диаметр шара равен image658Решив систему, найдем радиус шара.

image660Û image662Þ image664Û image666

По условию задачи подходит значение image668

Пример 3.Сечение шара плоскостью, перпендикулярной его диаметру, делит диаметр в отношении 1:2. Во сколько раз площадь сечения меньше площади поверхности шара?

Решение. Сделаем рисунок (рис. 45).

image669

Рассмотрим диаметральное сечение шара: AD – диаметр, O – центр, OE=R – радиус шара, BE – радиус сечения перпендикулярного диаметру шара, image671

Выразим BE через R: image673

Из DOBE выразим BE через R:

image675

Площадь сечения image677площадь поверхности шара image679Получаем отношение image681. Значит, S1 меньше S2 в 4,5 раза.

Пример 4.В шаре, радиус которого 13 см, проведены два взаимно перпендикулярных сечения на расстоянии 4 см и 12 см от центра. Найти длину их общей хорды.

Читайте также:  Стартер ниссан альмера n16 замена

Решение.Сделаем рисунок (рис. 46).

image682

Сечения перпендикулярны, т.к. image684OO2 – расстояние и OO1 расстояние. Таким образом, image686и image688, OC – диагональ прямоугольника OO2CO1 и равна image690

DO1AB – равнобедренный (O1A=O1B – радиусы), тогда перпендикуляр O1C – является и медианой AC=CB.

Рассмотрим DOAC: OA – радиус шара, image692(OC^AC по теореме о трех перпендикулярах). Находим image694Общая хорда сечений image696

Пример 5. Площадь осевого сечения шарового сектора в три раза меньше площади большого круга шара. Найти отношение объемов сектора и шара.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 47).

image697

Рассмотрим осевое сечение шара. Осевое сечение шарового сектора – это круговой сектор, площадь которого составляет image440часть площади круга. Значит, центральный угол равен 120°, следовательно image699Шаровой сектор можно рассматривать как тело, полученное при вращении сектора АОВ вокруг бокового радиуса ОВ. Высотой данного сектора служит отрезок СВ. Объем сектора вычисляется по формуле image701объем шара – image703

Задания для самостоятельного решения

Источник

Геометрия. 11 класс

Конспект урока

Геометрия, 11 класс

Урок №14. Объем шара и его частей

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 10-11 учебник для общеобразов. учрежд.: база и профильн. М: Просвещение.2009

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни и др. – М.: Просвещение, 2014. – 255, сс. 121-126.

Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 178-196.

Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2004. – 368 с.: ил., ISBN 5–7107–8310–2, сс. 5-30.

Читайте также:  Частота или шина памяти важнее в видеокарте

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Шаром называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного R.

Радиусом шара называют всякий отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара.

Концы любого диаметра шара называются диаметрально противоположными точками шара. Отрезок, соединяющий две любые точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, называют хордой шара.

Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы, заключенную между двумя параллельными плоскостями

Шаровым слоем называют часть шара, заключенную между двумя параллельными плоскостями

Сферическим сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит сферу пересекающая ее плоскость.

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью.

Шаровым сектором называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точки сферического сегмента с центром сферы

Объем шара равен c44a4582 b83e 4860 885c 5e489e8b5808.

Объем шарового сегмента равен 72447431 bd0d 43dd a79e a09130edefe9.

Объем шарового сектора равен a5d37221 7dd4 4011 882c 3204ccea9f1a.

Объем шарового слоя равен f6419f1f 0291 4331 85f1 929d8b3a3748.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Круговой сектор радиуса R с центральным углом 60 градусов вращается вокруг одного из радиусов, образующих этот угол. Найдите объем тела вращения.

№2. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6 см, а высота конуса, образующего сектор, составляет треть диаметра шара.

a99a671e 170d 4d43 a74c 1e13048d16dd

6345034a 2b78 4fad 8a0f fbcada1bd021

Решение: запишем формулу для вычисления объема шарового слоя.

b0aeb597 74f1 42cb a46c 1a64e4403f6a

Чтобы найти объём шарового слоя нам необходимо знать его высоту и радиусы двух его оснований.

По условию задачи нам дано расстояние между сечениями, как раз-таки это расстояние и есть высота данного шарового слоя, и она равна 9f62cddd 84b1 4253 be81 dc62f69bd77e.

Теперь найдём чему равны радиусы оснований шарового слоя. Напомню, что сечением шара плоскостью является круг. Площадь круга вычисляется по формуле 059609e2 f77b 4658 90ec b304494e6935. Отсюда найдём радиусы оснований шарового слоя. Тогда имеем, радиус одного основания равен 34fe808f 5680 4120 8adc 1970147ef60f(см), радиус второго основания равен 3dd3a7fb b4c5 4978 af78 03c35f2ad360(см).

Читайте также:  Что такое индекс скорости в обозначении шин

Подставим радиусы оснований и высоту шарового слоя в формулу его объёма. Посчитаем. Получаем, что объём данного шарового слоя равен c5599fab 9034 404e b30f 3ace7f25b919.

Источник

Оцените статью
Adblock
detector