Что такое шаровой сектор формула

Шаровой сектор

Шаровым сектором называется геометрическое тело, полученное при вращении кругового сектора (с углом меньше ) вокруг оси, содержащей один из боковых радиусов. Дополнение такого тела до шара также называется шаровым сектором. Таким образом, шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса, либо из шарового сегмента без конуса (рис. 43а, 43б).

Для шарового сектора верны формулы:

где R – радиус шара;

r – радиус основания сегмента;

S – площадь поверхности шарового сектора;

V – объем шарового сектора.

Пример 1. Радиус шара разделили на три равные части. Через точки деления провели два сечения перпендикулярные радиусу. Найти площадь сферического пояса, если радиус шара равен 15см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 44).

Для того, чтобы вычислить площадь сферического пояса, надо знать радиус шара и высоту. Радиус шара известен, а высоту найдем, зная, что радиус разделен на три равные части:

Тогда площадь

Ответ:

Решение. Рассмотрим два сферических сегмента с площадями: где R – радиус шара (сферы), h, H – высоты сегментов. Получим уравнения: и Имеем два уравнения с тремя неизвестными. Составим еще одно уравнение. Диаметр шара равен Решив систему, найдем радиус шара.

Û Þ Û

По условию задачи подходит значение

Пример 3.Сечение шара плоскостью, перпендикулярной его диаметру, делит диаметр в отношении 1:2. Во сколько раз площадь сечения меньше площади поверхности шара?

Решение. Сделаем рисунок (рис. 45).

Рассмотрим диаметральное сечение шара: AD – диаметр, O – центр, OE=R – радиус шара, BE – радиус сечения перпендикулярного диаметру шара,

Выразим BE через R:

Из DOBE выразим BE через R:

Площадь сечения площадь поверхности шара Получаем отношение . Значит, S₁ меньше S₂ в 4,5 раза.

Пример 4.В шаре, радиус которого 13 см, проведены два взаимно перпендикулярных сечения на расстоянии 4 см и 12 см от центра. Найти длину их общей хорды.

Решение.Сделаем рисунок (рис. 46).

Сечения перпендикулярны, т.к. OO₂ – расстояние и OO₁ – расстояние. Таким образом, и , OC – диагональ прямоугольника OO₂CO₁ и равна

DO₁AB – равнобедренный (O₁A=O₁B – радиусы), тогда перпендикуляр O₁C – является и медианой AC=CB.

Рассмотрим DOAC: OA – радиус шара, (OC^AC по теореме о трех перпендикулярах). Находим Общая хорда сечений

Пример 5. Площадь осевого сечения шарового сектора в три раза меньше площади большого круга шара. Найти отношение объемов сектора и шара.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 47).

Рассмотрим осевое сечение шара. Осевое сечение шарового сектора – это круговой сектор, площадь которого составляет часть площади круга. Значит, центральный угол равен 120°, следовательно Шаровой сектор можно рассматривать как тело, полученное при вращении сектора АОВ вокруг бокового радиуса ОВ. Высотой данного сектора служит отрезок СВ. Объем сектора вычисляется по формуле объем шара –

Задания для самостоятельного решения

Источник

Геометрия. 11 класс

Конспект урока

Геометрия, 11 класс

Урок №14. Объем шара и его частей

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 10-11 учебник для общеобразов. учрежд.: база и профильн. М: Просвещение.2009

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни и др. – М.: Просвещение, 2014. – 255, сс. 121-126.

Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 178-196.

Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2004. – 368 с.: ил., ISBN 5–7107–8310–2, сс. 5-30.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Шаром называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного R.

Радиусом шара называют всякий отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара.

Концы любого диаметра шара называются диаметрально противоположными точками шара. Отрезок, соединяющий две любые точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, называют хордой шара.

Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы, заключенную между двумя параллельными плоскостями

Шаровым слоем называют часть шара, заключенную между двумя параллельными плоскостями

Сферическим сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит сферу пересекающая ее плоскость.

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью.

Шаровым сектором называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точки сферического сегмента с центром сферы

Объем шара равен .

Объем шарового сегмента равен .

Объем шарового сектора равен .

Объем шарового слоя равен .

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Круговой сектор радиуса R с центральным углом 60 градусов вращается вокруг одного из радиусов, образующих этот угол. Найдите объем тела вращения.

№2. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6 см, а высота конуса, образующего сектор, составляет треть диаметра шара.

Решение: запишем формулу для вычисления объема шарового слоя.

Чтобы найти объём шарового слоя нам необходимо знать его высоту и радиусы двух его оснований.

По условию задачи нам дано расстояние между сечениями, как раз-таки это расстояние и есть высота данного шарового слоя, и она равна .

Теперь найдём чему равны радиусы оснований шарового слоя. Напомню, что сечением шара плоскостью является круг. Площадь круга вычисляется по формуле . Отсюда найдём радиусы оснований шарового слоя. Тогда имеем, радиус одного основания равен (см), радиус второго основания равен (см).